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Espaces probabilisés ( Maths)


Espaces probabilisés


Il y a deux types d'énoncés :
1) Une expérience aléatoire est décrite explicitement

Voir exercices 1 et 2.
2) les probabilités de certains événements sont données dans l'énoncé.
Voir exercice 3 et 4 .

Je vous présente un cours pour le terminale S : Théorèmes des valeurs intermédiaires 

Dans le premier cas

- On peut dans certains cas définir un ensemble Ω qui décrit l'expérience. Les événements dont on cherchera les probabilités sont décrits
par des sous-ensembles de Ω.
Il est conseillé de choisir des notations en rapport avec les événements.

On peut, s'il y a équiprobabilités des événements élémentaires, utiliser soit P(A) = \frac{CardA}{Card \Omega}

Soit  P(A) = ( Nombre de cas favorables / nombres de cas possibles )
( Exercice 1)
S'il n'y a pas équiprobabilité, il faut calculer les P ( \left\{{\omega }\right\}) Pour tout  ω Ω
et utiliser  : P(A) = \sum_{\omega \in A{}}^{} P (\left\{{\omega }\right\}

Dans tous les cas :
On peut utiliser les opérations sur les ensembles ( ;,C,...)
les formules de probabilités correspondantes et les probabilités conditionnelles:
Voir exercice 2,3 et 4 .

Attention à ne pas confondre  P(AB) et P ( A/B )

Exercice 1:

Une urne contient 9 boules numérotées de 1 à 9.
On tire 2 boules. Déterminer la probabilité d'obtenir 2 boules portant des numéros de même parités dans les cas suivants :
1) On tire les 2 boules simultanément.
2) On tire une boule, on ne le remet pas, on tire la 2eme boule.
3) On tire une boule, on la remet avant de tirer la 2eme boule.

Solution :


On tire 2 boules. On obtient 2 éléments de     [\begin{bmatrix}1,{9}\end{bmatrix}]

Soit A l'événement : les 2 nombres obtenus sont de même parités.
1) On tire les 2 boules simultanément

à chaque tirage on associe une combinaison de 2 éléments de E. Toutes ces combinaisons sont équiprobables, donc :

P(A) = ( Nombres de cas favorables / Nombre de cas possibles ) , et il y a C_{9}^{2}{ } = 36 cas possibles.
Il y a C_{5}^{2}{ } combinaisons de 2 nombres impairs de E et C_{4}^{2}{ } combinaisons de 2 nombres pairs de E.

Donc : \frac{C_{5}^{2}{ } + C_{4}^{2}{ }}{C_{9}^{2}{ }}= \frac{16}{36} = \frac{4}{9}

2) On tire une boule, on ne le remet pas, on tire une 2eme boule.
à chaque tirage on associe un arrangement de 2 éléments de E. Tous ces arrangements sont équiprobables, donc

P(A) = ( Nombre de cas favorables / nombre de cas possibles ) , et il y a  A_{9}^{2}{ } cas possibles.

Il y a A_{5}^{2}{ } arrangements de 2 nombres impairs de E et A_{4}^{2}{ } arrangements de 2 nombres pairs de E.

Donc P(A) = \frac{A_{5}^{2}{ } + A_{4}^{2}{ }}{A_{9}^{2}{ }} = \frac{32}{72}= \frac{4}{9}

3) On tire une boule et on la remet avant de tirer la 2eme boule

à chaque tirage on associe un couple de 2 éléments de E. Tous ces couples sont équiprobables, donc

P(A) = ( Nombre de cas favorables / nombre de cas possibles ) , et il y a 9² cas possibles.

Il y a 5² couples de nombres impairs de E et 4² couples de nombres pairs de E.

Donc P(A) = \frac{5²+4²}{9²} = \frac{41}{81}


Exercice 2

Une urne contient b boules blanches et r boules rouges.
On tire n boules en remettant la boule après tirage si elle est rouge et en ne la remettant pas si elle est blanche.
Quelle est la probabilité p d'obtenir exactement une boule blanche et n tirages ?

Solution :

La boule blanche peut être obtenue à l'un quelconque des n tirages, les autres boules obtenues étant rouges.
Soit Bk( resp. Rk) l'événement : ( On obtient une boule blanche ( resp. rouge) au kème tirage.)

p= P \begin{bmatrix}\bigcup_{k=1}^{n}{ (R1  \cap ...\cap Rk-1 \cap Bk \cap Rk+1 \cap ...\cap Rn )}\end{bmatrix}

= \sum_{k=1}^n{}P ( R1 \cap ... \cap Rk-1 \cap Bk \cap Rk+1 \cap ...\cap Rn
( Réunion d'événements deux à deux disjoints).

p= \sum_{k=1}^n{}P(R1)...P(Rk-1/R1 \cap ...\cap Rk-2) P(Bk/R1 \cap ...\cap Rk-1 ) P(Rk+1/R1 \cap...\cap Rk-1\cap Bk)...P(Rn/R1\cap ...\cap Bk \cap...\cap Rn-1)


p = \sum_{k=1}^n{} ( \frac{r}{b+r})^(k-1) \frac{b}{b+r}(\frac{r}{b+r-1})^(n-k)        car on remet les boules rouges tirées et on ne remet pas la boule blanche obtenue. Donc :

p=\frac{br^(n-1)}{(b+r-1)^n} \sum_{k=1}^n{}( \frac{b+r-1}{b+r})^k

= \frac{br^(n-1)(b+r-1) }{(b+r-1)^n(b+r)} \sum_{k=0}^n{}(\frac{b+r-1}{b+r})^k

= (\frac{b}{b+r})(\frac{r}{b+r-1})^(n-1)1- \frac{(\frac {b+r-1}{b+r})^n}{(\frac{b+r-1}{b+r})}
Car  ( b+ r -1 ) / ( b + r ) ≠ 1

Finalement :  p = b ( \frac{r}{b+r-1})^(n-1)\left\{{1 - (\frac{b+r-1}{b+r} )}^n\right\}

Commentaire:
 Formule des probabilités composées
La composition de l'urne est inchangée jusqu'à ce qu'on tire la boule blanche,Puis après ce tirage, l'urne reste composée de b - 1 boules blanches et r rouges.


Exercice 3 :

Le gérant d'un magasin de matériel informatique a acheté un stock de boîtes de disquettes. 5% des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que :
- 60% des boîtes abîmées contiennent au moins une disquette défectueuse.
- 98% des boîtes en bon état ne contiennent aucune disquette défectueuse,
- Les états des diverses boîtes sont indépendants les uns des autres.
Un client achète une des boîtes du lot.
On désigne par A l'événement : ( la boîte achetée est abîmée ) et par D l'événement : ( la boîte achetée contient au moins une disquette défectueuse).
1) Donner les probabilités P(A), P(A(bar)) , P(D/A) , P(D/A(bar)) , P(D(bar)/A) et P(D(bar)/A(bar)).
Calculer la probabilité de l'événement D.
2) Le client constate qu'une des disquettes est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une boîte abîmée?

Solution :

L'énoncé donne : P(A) = 5/100
P(D/A) = 60/100
P(D(bar)/A(bar) = 98/100.

1) P(A) = 5/100 Donc P(A(bar))= 1 - P(A) = 95/100

P(D/A) = 60/100 Donc P(D(bar)/A) = 1 - P(D/A) = 40/100

P¨(D(bar)/A(bar))= 98/100 donc P ( D/A(bar)) = 1 - P(D(bar)/A(bar) = 2/100.

D'après la formule des probabilités totales:
P(D) = P(A) P(D/A) + P(A(bar)P(D/A(bar))
Donc :    P(D) = 5/100 x 60/100 x 95/100 x 2/100  = 49/1000.

2) On cherche P( A/D)

P(A/D)=(P(ADP(D))=P(D/A)P(A)P(D)


Donc

P(A/D)=(60.50100491000)=3049



Exercice 4 :

 Pour se rendre au lycée, un élève a le choix entre quatre itinéraires : A , B , C , D.

La probabilité qu'il a de choisir A ( resp. B,C) est 1/3 ( resp. 1/4, 1/12 ).
La probabilité d'arriver en retard en empruntant A (resp. B,C) est 1/20 (resp. 1/10, 1/5). En empruntant D, il n'est jamais en retard.
1) Quelle est la probabilité que l'élève choisisse l'itinéraire D ?
2) L'élève arrive en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait emprunté l'itinéraire C ?

Solution :


Soit A ( resp. B, C , D ) l'événement : ( l'élève choisit l'itinéraire A ( resp. B,C,D).
P(A) = 1/3         , P(B) = 1/4 , P(C) = 1/12.

Soit R l'événement : ( l'élève arrive en retard ).
1) P(D) = 1 - P(A) - P(B) - P(C) car ( A,B,C,D) est un système complet d'événement. Donc P(D)=1/3.
2) L'énoncé donne P(R/A) =1/20 ; P(R/B)=1/10 : P(R/C) = 1/5 et P(R/D) = 0

P(R/D) = 0 car s'il choisit D, l'élève n'est jamais en retard. il faut quand même inclure D dans le système complet d'évènements, car P(D) ≠0

On cherche P(C/R)


( Formule de Bayes pour le système complet d'évènements de probabilités non nulles ( A,B,C,D)

d'ou   :
P(C/R)=112.1513.120+14.110+112.15