Pages

Variables et vecteurs aléatoires discrets

Variables et vecteurs aléatoires discrets


Si l'on veut déterminer la loi de probabilité d'une V.A.R X,
 - on peut chercher les valeurs xi que peut prendre X, puis les probabilités pi = P(X=xi)

Voir exercice 1.

 - on peut chercher les valeurs xi que peut prendre X, puis les probabilités P(X≤xi) ou P(X inf xi) ou P(X≥xi) ou P(X sup xi) pour en déduire les probabilités
P(X=xi) ( penser  à cette méthode si X= Min(...) ou X=Max(...))


Voir exercice 2



On peut exprimer X en fonction d'une autre V.A.R.Y ( ou plusieurs autres), chercher la loi de Y et en déduire celle de X.
Voir exercice 1.
on peut considérer la loi de X comme loi marginale d'un couple

voir exercice 3 et 4


- Si l'on veut déterminer la loi d'un couple ( X,Y)
on peut chercher les couples ( xi,yj) de valeurs que peut prendre ( x,y) puis les probabilités pi,j = P(X=xi et Y = yj) ( Pour cela on peut utiliser la loi conjointe du couple ( X,Y) et les lois marginales).

Voir exercice 4.


Si l'on veut montrer que deux V.A.R X et Y ne sont pas indépendantes pour une probabilité P.
on peut montrer qu'il existe un couple ( xi, yj ) tel que P(X=xi et Y=yj)  P(X=xi)P(Y=yj) 
On peut montrer que cov(X,Y) ≠ 0.

Voir exercice 3.


Si l'on veut calculer la probabilité d'un événement lié à deux V.A.R X et Y ( par exemple : ( X=Y) , ( X ≤ Y)...)
On peut déterminer les valeurs du couple ( X,Y) qui réalisent cet événement puis 
sommer les probabilités correspondantes

voir exercice 5.



exercice 1 :



On considère un dé cubique truqué de telle sorte que la probabilité d'obtenir la face n° k soit proportionnelle à k. On suppose que les faces sont numérotées de 1 à 6.
Soit X la V.A.R associée au lancer de ce dé.
1) Déterminer la loi de X.
2) Calculer E(X)
3) On pose Y = 1/X . Déterminer la loi de Y et E(Y).

Solution

1) X prend les valeurs:  k[1;6]

Si P= P(X= 1),
on a P (X= k ) = kp pour tout   k[1;6]
On doit avoir  \sum_{k=1}^6{} P(x=k) = 1  , Donc \sum_{k=1}^6{} kp= 1
c-à-d  :   p.(6x7)/2  = 1 donc p = 1/21 et la loi de X est  donnée par le tableau suivant :
k
1
2
3
4
5
6
P(X= k )
1/21
2/21
3/21
4/21
5/21
6/21



2) E(x)= \sum_{k=1}^6{} kP(X=k) = \sum_{k=1}^6{} k*\frac{k}{21} = \frac{1}{21}\sum_{k=1}^6{}k²

Donc : E(x) = 1/21 * (6x7x13)/6  = 13/3.
3) Y prend les valeurs 1/k ,    k[1;6]
et pour tout    k[1;6], P (Y=1/k ) = P (X = k ).
Donc la loi de Y est donnée par le tableau :
yk
1
½
1/3
¼
1/5
1/6
P(X= yk)
1/21
2/21
3/21
4/21
5/21
6/21



E(y)= \sum_{k=1}^6{} 1/kP(Y=1/k) = \sum_{k=1}^6{} \frac{1}{k}*\frac{k}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}



Exercice 2 :

Une boule contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire 2 boules simultanément. On appelle X le plus grand des deux numéros obtenus. Déterminer la loi de X et calculer E(X).

Solution:
Le résultat d'un tirage possible est décrit par une combinaison de 2 nombres de [1;10].
Toutes ces combinaisons sont équiprobables, donc pour tout événement A,
on a : P(A) = ( nombre de cas favorables / nombre de cas possibles )

X peut prendre toutes les valeurs de 2 à 10.
Soit k[2;10]. l'événement ( X ≤ k ) est réalisé si, et seulement si, les 2 boules tirées portent des numéros entre
1 et k, donc si, et seulement si, les 2 boules ont été tirées parmi celles portant les numéros 1 à k.

Donc P(X\leq k ) = \frac{C_{k}^{2}{ }}{C_{10}^{2}{ }}= \frac{k(k-1)}{90}
et cette formule est encore vraie pour k=1 car P(X ≤ 1) = 0.
On en déduit pour tout k[2;10] :
P(X= k) = P(X ≤ k ) - P(X≤ k- 1)
            =  \frac{k(k-1)}{90} - \frac{(k-1)(k-2)}{90} = \frac{2(k-1)}{90}= \frac{k-1}{45}


E(x) = \sum_{k=2}^1{}kP(X=k) = \sum_{k=2}^1{}\frac{k(k-1)}{45}


 \sum_{k=2}^1{}k(k-1) =  \sum_{k=1}^1{}k(k-1) = \sum_{k=1}^1{} k² - \sum_{k=1}^1{} k


=  \frac{10*11*21}{6} - \frac{10*11}{2}= \frac{10*11*6}{2}= 330

On en déduit E(X) = 330/45 = 22/3.


Exercice 3 :


Soit X et Y deux V.A.R telles que Y= X² et que la loi de X soit donnée par le tableau :
Xi
- 2
-1
0
2
2
Pi
1/6
¼
1/6
¼
1/6

           
1) Donner la loi conjointe de X et Y 
2) Déterminer la loi de Y
3) X et Y sont-elles indépendantes ?
4) Calculer cov(X,Y) . Conclusion?

Solution : 
X/Y
  -2         -1        0          1            2
0

1

4
   0          0         1/6      0             0

  0           ¼         0         ¼           0

  1/6        0          0          0           1/6

P[(X=i)(Y=j)]=0  sji²
 P[(X=i)(Y=i²)]=P(X=i)
]]2) La loi de Y est la loi marginale de Y dans le couple ( X,Y). On peut aussi obtenir directement cette loi car Y prend les valeurs i² pour  iX(Ω)
Donc Y prend les valeurs 0, 1 et 4.
P(Y= 0 ) = P(X= 0 ) = 1/6 
P(Y=1) = P(X= -1 ) + P (X=1) = 1/2
et P(Y= 4) = P(X = -2) + P(X=2) = 1/3.
Dans les 2 cas, on obtient le tableau :

Yk
  0
       1
         4
P(Y=Yk)
1/6
  ½
1/3


3) X et Y ne sont pas indépendantes car 

P[(X=0)(Y=1)]=0P[(X=0)(Y=1)

4) cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y).
Dans chaque case du tableau donnant la loi conjointe de ( X,Y) on peut écrire la valeur du produit xiyj dans le coin supérieur gauche.